Lagrange の定理

定理

$ Gを有限群とし、$ H\le Gとすると

$ |G|=[G:H]|H| が成立

$ [G:H]=|G/H| は$ Gにおける$ Hの指数

$ G/Hは$ Gの$ Hによる左剰余類

証明

$ H=\{h_j|j\in[1,m]\sub\N\} とすると

左剰余類は$ aH=\{ah_j|j\in[1,m]\sub\N\}

このとき$ |aH|=|H|=m

$ \because$ {\rm f}(h)=ahは全単射

$ \because

単射: $ ah_i=ah_j\Rightarrow h_i=h_j

全射: $ {\rm f}(H)=aH

$ ^{\forall i,j\in[1,n]\sub\N}[i\ne j\Rightarrow a_i H\cap a_jH=\varnothing]

$ G/H=\{a_iH|i\in[1,n]\sub\N\}

$ G=\bigoplus_{i=1}^k a_iH

$ |G|=k|H|=|G:H||H|